NÚMEROS PRIMOS

Números Primos


Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
· Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
· por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
----------------------------------------------------------------------





As informações abaixo foram extraídas do site:
http://www.mundovestibular.com.br/articles/465/1/NUMEROS-PRIMOS/Paacutegina1.html
NÚMEROS PRIMOS
Os livrões nos dizem que um NÚMERO PRIMO é um número natural maior do que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Todos os outros são chamados de números compostos. É preciso destacar que o número zero não é primo e nem composto.
Neste caso, um número inteiro maior do que 1 é chamado de primo se seus únicos divisores (fatores) positivos forem 1 e ele próprio. Os primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13. O único número primo par é o 2, todos os outros são ímpares.
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todos os números inteiros positivos podem ser fatorados (divididos) em um produto único de números primos. Por exemplo, os divisores primos de 10 são 2 e 5. Isto é o mesmo que dizer que todos os números compostos são compostos por uma múltiplicação única de números primários, os números primos.
· Um número inteiro positivo p, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores p=ab, nenhum dos quais sendo 1 ou -1.
· Se p é um número primo e p dividir o produto dos inteiros ab, então p divide a ou p divide b. Esta proposição é conhecida como lemma de Euclides.
· Se p é primo e a um número inteiro qualquer, então ap - a é divisível por p. Este é o Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 63 - 6 = 210 e 210 é divisível por 3. O interessante é que, se a potência não for um número primo, esta afirmação não necessariamente se confirma.
· Se p é um número primo diferente de 2 e 5, 1/p é sempre uma dízima periódica com um período p-1 ou um divisor de p-1. Neste caso, também entra o Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 1/7 = 0.142857 142857..., uma dízima periódica com um período de seis algarismos (142857).
· No caso da propriedade anterior, se trocarmos a base numérica decimal para outra qualquer q, se p não for um fator primo de q, a propriedade se mantém.
· Um número inteiro p > 1 é primo se, e somente se o fatorial (p - 1)! + 1 for divisível por p. Este é o Teorema de Wilson, e o inverso também é verdadeiro. Por exemplo, (5 - 1)! + 1 = (4x3x2x1) + 1 = 24 + 1 = 25. Como 25/5 = 0, então 5 é um número primo. Por outro lado, (4 - 1)! + 1 = (3x2x1) + 1 = 6 + 1 = 7. Como 7/4 = 1.75 (não é uma divisão exata), então 4 não é um número primo.
· O Postulado de Bertrand diz que, se n é um número inteiro positivo, então sempre existe um número primo p com n < p <= 2n. Por exemplo, se n = 4, então 2n = 8. No intervalo entre 4 e 8 sempre existe um número primo que, no caso, é 5.
· Para cada um dos números primos p > 2 existe sempre um número natural n de modo que p = 4n ± 1. Por exemplo, se p = 13, então existe um número n de modo que p = 4n + 1 ou que p = 4n - 1. Neste caso, n = 3 pois 13 = 4 x 3 + 1 = 12 + 1 = 13.
· Da mesma forma, para cada número primo p > 3 existe sempre um número natural n de modo que p = 6n ± 1.

TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS
Existem alguns tipos especiais de números primos, dos quais os mais conhecidos são:
· Primos de Mersenne: têm a forma 2n - 1. Observe que os últimos maiores primos encontrados são deste tipo. Isto se deve ao fato de que existe um teste de primalidade muito eficiente para este tipo de primo, o teste de Lucas-Lehmer para Primos Mersenne.
· Primos de Fermat: têm a forma 22n + 1.
· Primos Sophie Germain: são os números primos p onde 2p + 1 também é um número primo.
· Primos de Wieferich: são números primos p onde p2 divide 2p - 1 - 1. Foram descritos por Wieferich em 1909 e existem apenas dois conhecidos: 1093 e 3511.
· Primos de Wilson: são os primos p onde p2 divide (p - 1)! + 1. Os únicos conhecidos são 5, 13 e 563.
· Primos Fatoriais: têm a forma n! ± 1. n! - 1 é primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, ... e n! + 1 é primo para n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, ...
OS MAIORES NÚMEROS PRIMOS CONHECIDOS
Primo Nro. de Dígitos Tipo Data Descobridor
225964951 - 1 7.816.230 Mersenne 18.02.2005 Martin Nowak
224036583 - 1 7.235.733 Mersenne 15.05.2004 Josh Findley
220996011 - 1 6.320.430 Mersenne 17.11.2003 Michael Schafer

Primo Dígitos Ano
1 361 84665536+1 402 007 2002
1 266 06265536+1 399 931 2002
5 x 21320487+1 397 507 2002
1 057 47665536+1 394 807 2002
857 67865536+1 388 847 2002
ONDE ENCONTRAR NÚMEROS PRIMOS ENORMES
Para encontrar listas sempre atualizadas com os maiores números primos, visite o site da GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search, iniciado por Woltman no início de 1996.
Os números estão classificados por tipo de primo, o site está sempre atualizado e oferece um mundo de informações a respeito de números primos.
De acordo com o número de dígitos, os primos receberam nomes especiais:
Primos titânicos
Nos anos 80, Samuel Yates iniciou uma lista dos "Maiores Primos Conhecidos" e criou o nome primo titânico para designar qualquer número primo com 1.000 ou mais dígitos. Denominou também de titãs aqueles que provaram a primalidade destes números.
Hoje em dia, uma infinidade de primos titânicos são conhecidos. Entretanto, na época em que Yates definiu os primos titânicos, tinha-se conhecimento de apenas alguns poucos.
Primos gigantes
Cerca de dez anos mais tarde, Yates designou como primo gigante todo número primo que possuísse 10.000 ou mais dígitos. Nos anos 90 estes primos eram bastante raros. Atualmente, vários deles são conhecidos.
Megaprimos
Megaprimos são números primos que possuem no mínimo um milhão de dígitos. Vários são conhecidos (quando pesquisei pela primeira vez em 2002, existiam apenas dois).


As informações abaixo foram extraídas do site:
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u20.jhtm

Números primos
VEJA ALGORITMO PARA ENCONTRÁ-LOS
Maria Ângela de Camargo
*Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
Um número natural é primo se ele possui apenas dois divisores positivos e distintos. Ou seja, um número natural é primo se ele é maior que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1.

Um exemplo: o número 2. Ele só é divisível por ele mesmo, e por 1. O mesmo vale para 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... Como se pôde observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares. Observe também que essa definição exclui o 1 como primo.

O matemático grego Euclides provou que os números primos eram infinitos. Problemas envolvendo números primos mantiveram ocupados quase todos os matemáticos desde a antigüidade: como saber se um número é primo ou não, ou prever a sua existência em um conjunto de números, ou ainda encontrar uma fórmula para defini-los?

Muitas dessas questões continuam sem resposta, mas Eratóstenes criou um método para descobrir os primos em uma seqüência de números naturais de 1 até n. Eratóstenes viveu em Alexandria algumas décadas depois de Euclides. Foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria e do Museu, enquanto acumulava uma série de outras atividades.
Algoritmo para definir números primos
O algoritmo se baseia numa "peneira": ele vai testando se um número é primo e, se for, elimina todos os seus múltiplos. Pode-se começar com um conjunto de números naturais não-nulos. Observe uma lista com os 50 primeiros:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

O menor número primo é o 2, mas qualquer outro que seja divisível por 2 não é primo, certo? Então, mantém-se o 2 e excluem-se todos os seus múltiplos,
2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49

o que elimina metade da lista!
O próximo número primo é 3. Deve-se mantê-lo e excluir os múltiplos de 3, uma vez que um número múltiplo de 3 não pode ser primo:
2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49

E o 4? Quando se eliminam os múltiplos de 2, também se eliminaram os múltiplos de 4, 6, 8, e todos os números pares! É por esse motivo que o crivo é tão eficiente: ao excluir os múltiplos de um número primo, não há necessidade de verificar aqueles múltiplos.
Daí, pode-se passar ao próximo número da seqüência, que é exatamente o próximo primo, o 5. Removendo os múltiplos de 5 (a essa altura, só restam o 25 e o 35) e fazendo o mesmo com o próximo da seqüência que é o 7 (removendo apenas o 49), fica-se assim:
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47

Todos os números que sobraram na lista são primos!
Múltiplos de 11
Você poderia se perguntar se o correto não seria continuar com a checagem até chegar ao fim da lista. Uma análise mostra que esse trabalho não é necessário. Veja que os próximos na verificação e exclusão da seqüência seriam os múltiplos de 11, mas todos já foram excluídos previamente porque eram múltiplos de outro primo menor!
Observe o aspecto das últimas exclusões:
21 = 7x3 - 27 = 32x3 - 25 = 5x5 - 35 = 7x5 - 49 = 7x7
Qualquer outro número não-primo nessa seqüência deve ser da forma 11k, em que k é primo menor que 11, mas esses já foram excluídos! Então, os que sobraram são mesmo primos. Na verdade, basta calcular os números primos anteriores à raiz quadrada de n (você sabe dizer por quê?).
Divisão por tentativa
Para determinar se um certo número inteiro pequeno é primo, a divisão por tentativa funciona bem. Basta dividi-lo por todos os primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Se você estiver procurando por um primo gigantesco, com mais de 10.000 dígitos decimais, nunca poderia dividi-lo por todos os primos menores que a sua raiz quadrada.
Ainda assim, mesmo nesses casos a divisão por tentativa é utilizada, somente para fazer um rastreamento inicial. Fazem-se divisões por alguns milhões de primos pequenos e depois aplica-se um teste de primalidade. No caso de n ter 25 dígitos ou mais, a divisão por tentativa usando primos menores que sua raiz quadrada é impraticável. Se n tiver 200 dígitos, então a divisão por tentativa é impossível.
A mais importante utilização atual dos números primos é o reforço nos sistemas de segurança em criptografia, entre outras aplicações. Pode-se dizer que um sistema criptografado é tão mais seguro quanto maiores forem os primos utilizados na sua estrutura. A questão então passa por determinar se um número é primo ou não.
Mas por que o nome "primo"?
A palavra primo refere-se a idéia de primeiro, e sua origem está na concepção numérica da escola pitagórica, no século 5 a.C. Nessa época, os matemáticos gregos dividiam os números inteiros naturais em três classes:
· a monad (unidade, 1);
· os protói arithmói (números primos) ou asynthetói aritmói (números não compostos): aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros números além da unidade. 2, 3, 5, 7, 11, etc.;
· os deuterói arithmói (números compostos): aqueles que podem ser gerados pelo produto de outros números. 4 (=2x2), 6 (=2x3), 8, 10, 12, 14, etc.
A definição de Euclides para esses números reflete essa classificação:
"Número primo é aquele que só pode ser medido através da unidade."

PORCENTAGEM

Porcentagem

As informações abaixo foram extraídas do site: http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:








Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.


Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:






E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:






(lê-se 10 por cento)






(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:


Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?


5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?


20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora?

Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?

Digitem: 500
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 20
Aperte a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.



Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será:



Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)
Logo,







2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de:


Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:




3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?



2000x = 10000
x = 5

Portanto, 5%.

4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.




Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:




Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.

JUROS SIMPLES

Juros simples e porcentagem

ESTUDO ELABORADO POR Carlos Alberto Campagner que é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.


Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc.

A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples.




Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão?

Equacionando e montando a regra de 3 temos:

3500 – 100%
x - 3%





Na regra de 3, quando as grandezas são diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a comissão) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se vê abaixo:



Ora, se 100 x = 3500 3, então


X= 3X3.500/100= 105

Logo, a comissão será de R$ 105,00.

Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição:

3% = logo 3% de R$ 3.500,00 seriam x R$ 3.500,00 = R$ 105,00.
Alguns termos de matemática financeira
Como estamos falando de finanças, os termos mais usados, de acordo definições reduzidas, serão:
· Capital = o dinheiro em questão;
· Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado;
· Capital final = o capital depois de decorrido o tempo determinado;
· Tempo = determinado período em que se modifica o valor do capital;
· Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;
· Prejuízo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;
· Juros = Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de um capital;
· Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo.
Juros simples
Pode parecer óbvio, mas o produto de uma sapataria é o sapato, da papelaria é o papel e similares. No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo.

Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc), serão cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros.

De uma maneira geral o juro simples (J) produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (t) é calculada assim:

J=C x i x t
· Exemplo: Você coloca seu suado dinheiro na poupança, digamos R$ 1.000,00. Após um mês qual será o juro a receber se a taxa é de 0,5% ao mês?



Logo, o banco lhe pagará R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 mês.

Veja que a taxa de juros 0,5% foi colocada em sua forma fracionária.
· Exemplo: Você vai utilizar o seu cheque especial de R$ 1000,00 por um mês, sendo que a taxa é de 15% ao mês. Quanto pagará de juros?



Logo, você pagará R$ 150,00 ao banco.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
· Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
· Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
· Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.





· Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
· Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
· Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
· Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
· Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
· Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.





· Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

PESOS E MEDIDAS

Pesos e Medidas
- Pesos e Medidas no Sistema Métrico –
UNIDADES LINEARES
1mm – milímetro – 0,001m
1cm – centímetro – 0,01m
1 dc – decímetro – 0,10
1m – metro – 1 mt
1 km - quilômetro – 1000m
1 milha – marítima – 1852m
UNIDADES DE SUPERFÍCIE
1 mm2 - milímetro quadrado – 0,000001m
1 cm2 – centímetro quadrado – 100mm
1 dcm2 – decímetro quadrado – 100 cm2
1 mt2 – metro quadrado – 100 dm2
1 - are – 100 mt2
1 há – hectare – 100 are
1 km2 – quilometro quadrado – 100 ha




Unidades de Volume
1 mm³
Milímetro cúbico
0,000000001³ m
Unidades de Volume
1 cm³
Centímetro cúbico
1000³ mm
Unidades de Volume
1 dm³
Decímetro cúbico
1000³ cm
Unidades de Volume
1 m³
Metro cúbico
1000³ dm
Unidades de Volume
1 ct
Centilitro
0,01 L
Unidades de Volume
1 dl
Decilitro
10 CL
Unidades de Volume
1 L
Litro
10 DL
Unidades de Volume
1 hl
Hectolitro
100 L
Unidades de Massa
1 quilate
-
0,2 g
Unidades de Massa
1 mg
Miligrama
0,001 g
Unidades de Massa
1 cg
Centigrama
0,01 g
Unidades de Massa
1 dg
Decigrama
0,1 g
Unidades de Massa
1 g
Grama
0,001 kg
Unidades de Massa
1 dag
Decagrama
10 g
Unidades de Massa
1 kg
Quilograma
1000 g
Unidades de Massa
1 t
Tonelada
1000 kg



- Equivalência de medidas -
1 polegada
2,54 centímetros
1 pé
30,4799 centímetros
1 jarda
0,914399 metro
1 milha
1,60903 quilômetros
1 centímetro
0,39370113 polegada
1 metro
39,370113 polegadas
3,28084 pés
1,093614 jardas
1 polegada quadrada
6,4516 centímetros
1 pé quadrado
9,2903 decímetros
1 jarda quadrada
0,836126 metro
1 centímetro quadrado
0,155 polegada
1 metro quadrado
10,7639 dois pés
1,196 jardas
1 galão (Grã-Bretanha)
4,543 litros
1 galão (Estados Unidos)
3,785 litros
1 hectare
2,4711 acres
10.000 metros
1 onça
28,350 gramas
1 libra
16 onças
0,45359 quilogramas
1 tonelada inglesa
2,240 libras
1.016 quilogramas
1 quilograma
2,20462 libras
Unidades Derivadas - Sistema Internacional
Grandeza
Unidade
Representação
área
metro quadrado
m2
volume
metro cúbico
m3
velocidade
metro por segundo
m.s-1
aceleração
metro por segundo ao quadrado
m.s-2
Massa específica
quilograma por metro cúbico
kg.m-3
luminância
candela por metro quadrado
cd.m-2
atividade radioativa
por segundo
s-1
frequência
hertz(Hz)
s-1
força
newton (N)
kg.m.s-2
pressão
pascal (Pa)
N.m-2
trabalho,energia
joule(J)
kg.m.s-2 = N.m
potência
watt (W)
kg.m.s-3 = J.s-1
carga elétrica
coulomb(C)
A.s
potencial elétrico
volt(V)
J.C-1
fluxo de indução magnética
weber(Wb)
V.s
indutância
henry(H)
Wb.A-1
momento de uma força
newton.metro
N.m
viscosidade dinâmica
pascal.segundo
Pa.s
capacidade térmica e entropia
joule por kelvin
J.K-1
calor específico
joule por kilograma.kelvin
J(kg.K)-1
campo elétrico
volt por metro
V.m-1





Unidades "Não SI "
(Unidades Não Sistemas Internacionais)
Grandeza
Unidade
Valor (unidades SI)
comprimento
unidade astronômica (UA)
1,495978 x 1011 m
comprimento
parsec(pc)
3,085680 x 1016 m
comprimento
angstrom(Å)
10-10 m
comprimento
milha marítima
1852 m
comprimento
micron ( m )
10-6 m
comprimento
milha terrestre (mile)
1 609, 3 m
comprimento
jarda (yard)
0,9144 m
comprimento
pé (foot)
0,30480 m
comprimento
palmo (span)
22,86 x 10-2 m
comprimento
polegada (inch)
2,540 x 10 -2m
volume
litro(l ou L)
10-3 m3
volume
barril de petróleo
0,159 m3
volume
galão americano
3,785 x 10-3 m3
volume
galão inglês
4,545963 x 10-3 m3






massa
unidade de massa atômica(u)
1,66057 x 10-27 kg
massa
tonelada(t)
1000 kg
massa
quilate
2 x 10-4 kg
massa
dracma
1,772 x 10-3 kg
massa
libra (pound)
0,453 kg
massa
onça (avoirdupois)
28,35 x 10-3 kg
massa
onça ( apothecaria)
31,10 x 10-3 kg
energia
elétronvolt
1,60218 x 10-19 J
área
are (a )
102 m2
área
hectare(ha)
104 m2
área
alqueire (paulista)
24200 m2
área
pé quadrado
0,09290304 m2
velocidade
nó
1852 / 3600 m.s-1
aceleração
gal
10 -2 m.s-2
pressão
bar
105 Pa
pressão
milimetro de mercúrio (mmHg)
103,322 Pa
pressão
torricelli (torr)
103,322 Pa
pressão
barie (b)
0,1 Pa
pressão
atmosfera normal(atm)
101325 Pa
força
dyne(dyn)
10 -5 N
força
quilograma-força(kgf)
9,80665 N
trabalho e energia
erg
10 -7 J
trabaho e energia
caloria (cal)
4,1868 J
potência
cavalo-vapor(CV)
735,5 W
potência
horse-power
745,7 W
Unidades de Base - Sistema internacional
Grandeza
Unidade
Representação
Comprimento
metro
M
Massa
quilograma
kg
tempo
segundo
S
Intensidade de corrente elétrica
ampére
A
Temperatura termodinâmica
kelvin
K
Intensidade luminosa
candela
cd
Quantidade de matéria
mol
mol

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Número inteiro em fração

Se pegarmos o número 5 para representá-lo em forma de fração basta achar um número que dividido por outro número o resultado seja 5. Por exemplo: 10 : 2 ou 20 : 4 ou 300 : 60, então dizemos que:




Números decimais em fração

Se pegarmos o número 0,2 (a leitura dele é dois décimos), é preciso lembrar que décimo vem de dez, assim como centésimos vem de cem e milésimo vem de mil, então para transformar 0,2 em fração basta eliminar a vírgula ficando o número 2, assim o denominador será o número que representa a casa decimal, então:



1,25 (sua leitura é um inteiro e vinte e cinco centésimos), retirando a vírgula fica 125 no numerador, o denominador fica 100, pois as casas decimais estão em centésimos.



Se dividirmos o numerador de cada fração acima pelo denominador correspondente, chegaremos ao valor decimal correspondente a ele.


Dízima periódica em fração


Primeiro vamos falar o que é uma dízima periódica.
Dizima periódica é a parte decimal infinita (não tem fim), pois repete igualmente. Por exemplo: 0,22222.... ; 2,5656565656.... ; 0,2555... .

Esses números podem ser escritos em forma de fração, mas apesar de serem números decimais na sua transformação utilizaremos um processo diferente. Acompanhe o raciocínio:

Exemplo 1:
Vamos transformar 0,2222... em fração. Pra isso chamaremos a dízima de X:

X = 0,2222... (I)


Devemos eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim:

10 . X = 2,2222... (II)


Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas:


(II) – (I)



Como X = 0,2222.... , então 0, 2222.... é o mesmo que
Se dividirmos 2 : 9 chegaremos a 0, 2222.... .


Exemplo 2:

Temos a dízima 0, 636363...


X = 0,636363.... (I) andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que
repete nas casas decimais é o 63.


100 . X = 63,636363.... (II) andar duas casas para a direita é o mesmo que multiplicar
por 100.


Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas:




Como X = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que

Exemplo 2:

Temos a dízima 2,35555... nessa percebemos que na parte decimal temos apenas o 5.


X = 2,35555...


Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por 10 para que o número 3 passe pro outro lado deixando nas casas decimais apenas a dízima.

10 . X = 23,5555... (I)

Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos cancelar a parte decimal.

10 . 10 . X = 235,5555...

100 X = 235,5555... (II)


Subtraindo as equações (II) e (I), teremos:




Como X = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que

Essas são as transformações mais importantes.
FONTE:Mundo Educação » Matemática » Operação com racionais » Transformação para números fracionários

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

I - INTRODUÇÃO:
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II - MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar -2x com 2x

2x + y = 6 . ( - 1 ) - 2x - y = - 6
2x + 3y = 2 2x + 3y = 2
2y = - 4
y = -4/2
y = - 2
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

2x + y = 6
2x + ( -2 ) = 6
2x - 2 = 6
2x = 6 + 2
x = 8/2
x = 4

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.

2x + y = 6 ( 2x + y = 6 ( y = 6 - 2x
2x + 3y = 2


2º passo: Substituir y = 6 - 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.

2x + 3y = 2
2x + 3.( 6 - 2x ) = 2
2x + 18 - 6x = 2
- 4x = 2 - 18
- 4x = - 16
- x = -16/4
- x = - 4 . ( - 1 )
x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 - 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 - 2x
y = 6 - 2.4
y = 6 - 8
y = -2


4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }


3º) método da igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2


1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações.

2x + y = 6 ( 2x + y = 6 ( y = 6 - 2x
2x + 3y = 2 ( 2x + 3y = 2 ( y = ( 2 - 2x ) / 3


2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
6 - 2x = ( 2 - 2x ) / 3
3.( 6 - 2x ) = 2 - 2x
18 - 6x = 2 - 2x
2x - 6x = 2 - 18
-4x = -16
-x = -16/4
-x = -4 . ( -1 )
x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 - 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 - 2x
y = 6 - 2.4
y = 6 - 8
y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }


Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro.

APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES

01 - Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química existentes nesse depósito é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

RESOLUÇÃO:
Vamos observar que é melhor adotar as iniciais das palavras. Pois se adotarmos x e y fica um pouco confuso na hora de dar a resposta.

E = número de extintores de espuma química
D = número de extintores de dióxido de carbono

E + D = 24 E + D = 24
D = 3E - 3E + D = 0

Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e com o método da adição encontraremos o valor de E.

E + D = 24 E + D = 24
-3E + D = 0 3E - D = 0
4E = 24
E = 24/4
E = 6

O número de extintores de espuma química é de 6 extintores.
Opção: D



02 - Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é:
a) 40 anos b) 46 anos c) 48 anos d) 50 anos

RESOLUÇÃO:
M = minha idade
F = idade da filha
M = 2F M - 2F = 0 M - 2F = 0
M - F = 23 M - F = 23 . ( - 2 ) - 2M + 2F = - 46

- M = - 46 . (-1)
M = 46
A minha idade é 46 anos.
Opção: B


03 - A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha. A minha idade atual , em anos é:
a) 47 b) 49 c) 51 d) 53

RESOLUÇÃO:
M = minha idade
F = idade da filha
M + F = 72 M + F = 72 M + F = 72
M + 3 = 2.(F + 3) M + 3 = 2F + 6 M - 2F = 6 - 3

M + F = 72 . ( 2 ) 2M + 2F = 144
M - 2F = 3 M - 2F = 3
3M = 147
M = 147/3
M = 49
A minha idade é 49 anos.
Opção: B




QUESTÕES OBJETIVAS

01 - Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de "compact disc" . Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. É possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:
a) 46
b) 40
c) 32
d) 23

02 - Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

03 - Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
a) 35
b) 30
c) 25
d) 15

04 - Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo ( 3, 4 e 6) , respectivamente, existem?
a) 6, 4 e 6
b) 6, 6 e 4
c) 4, 6 e 6
d) 3, 7 e 6

05 - Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15

06 - Um copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g. A massa do copo com 3/5 da água é:
a) 160 g
b) 225 g
c) 260 g
d) 295 g



07 - Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e um secretária. Como Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causa s diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a:
a) 64
b) 46
c) 40
d) 32

08 - Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu.
a) 10
b) 6
c) 4
d) 2

09 - Numa lanchonete, 2 copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa:
a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha.
b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.
c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha.
d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.

10 - Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesam dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

- Carlos e o cão pesam juntos 87kg;
- Carlos e Andréa pesam 123kg e
- Andréia e Bidu pesam 66kg.

Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60kg
b) Dois deles pesam mais de 60kg
c) Andréia é a mais pesada dos três
d) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.


GABARITO OBJETIVO

01 - D
02 - B
03 - A
04 - C
05 - C
06 - D
07 - D
08 - B
09 - C
10 - D
GABARITO COMENTADO

01 -
L = número de CDs de Luis
M = número de CDs de Maria
L + M = 104 L + M = 104 L + M = 104
M - 12 = 3L -3L + M = 12 . (-1) 3L - M = -12
4L = 92
L = 92/4 = 23
O número de CDs que Luis possui é: 23 CDs.
Opção: D
02 -
D = número de mesas com dois lugares
Q = número de mesas com quatro lugares

D + Q = 12 . ( -4 ) - 4D - 4Q = - 48
2D + 4Q = 38 2D + 4Q = 38

-2D = - 10 . (-1)
D = 10/2 = 5
O número de mesas com dois lugares é : 5 mesas
Opção: B

03 -
C = número de exercícios certos
E = número de exercícios errados

C + E = 50 .( 3 ) 3C + 3E = 150
5C - 3E = 130 5C - 3E = 130
8C = 280
C = 280/8 = 35
O número de exercícios certos é: 35 exercícios
Opção: A

04 -
T = número de mesas com três lugares
Q = número de mesas com quatro lugares
S = número de mesas com seis lugares
T + Q + S = 16
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72

Substituindo a segunda na terceira
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72 ( ( 36 ) + 6S = 72 ( 6S = 72 - 36 ( 6S = 36 ( S = 6

Substituindo o valor de S na primeira e montando um sistema com a primeira e Segunda,
T + Q + S = 16 T + Q + 6 = 16 T + Q = 10 . (-3) -3T - 3Q = - 30
3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36
- Q = - 6
- Q = - 6 . ( -1 ) ( Q = 6

Substituindo S = 6 e Q = 6 na primeira equação encontramos o valor de T
T + Q + S = 16
T + 6 + 6 = 16
T + 12 = 16 ( T = 16 - 12 = 4 ( T = 4

O restaurante possui quatro mesas de três lugares, seis mesas de quatro lugares e seis mesas de seis lugares.
Opção: C


05 -
C = número de arremessos certos
E = número de arremessos errados

C + E = 20 .( 5 ) 5C + 5E = 100
10C - 5E = 50 10C - 5E = 50

15C = 150
C = 150/15 = 10

O número de arremessos certos é: 10 arremessos
Opção: C


06 -
C = a massa do copo vazio
A = a massa de água de um copo cheio
C + A = 385 . ( -1 ) - C - A = - 385
C + (2/3)A = 310 C + (2/3)A = 310
(2/3)A - A = - 75
- (1/3)A = -75 A = 225g

Substituindo na primeira temos,
C +A = 385
C + 225 = 385
C = 385 - 225 = 160g

Voltando ao enunciado temos,
C + (3/5)A = 160 + (3/5)160 = 160 + 135 = 295g

A massa do copo com 3/5 de água é: 295g

Opção: D







07 -
A = número de processos do Dr. André
C = número de processos do Dr. Carlos
A + C = 78 .( -1) -A - C = - 78
A + 2C = 110 A + 2C = 110
C = 32

O número de processos do Dr. Carlos é: 32 processos
Opção: D

08 -
C = número de notas de R$ 5,00 ( cinco reais )
D = número de notas de R$ 10,00 ( dez reais )
D + C = 10 . (-10) - 10D - 10C = - 100
10D + 5C = 70 10D + 5C = 70

- 5 C = - 30 . (-1) ( 5C = 30 ( C = 30/5 ( C = 6
Recebeu 6 notas de notas de R$ 5,00.
Opção: B
09 -
R = preço de um copo de refrigerante
C = preço de uma coxinha
2R + 3C = 5, 7 . (-3) - 6R - 9C = -17,1
3R + 5C = 9, 3 . (2) 6R + 10C = 18,6
C = 1,5

Substituindo C = 1,5 na primeira equação temos,
2R + 3C = 5,7
2R + 3. 1,5 = 5,7 ( 2R + 4,5 = 5,7 ( 2R = 5,7 - 4,5 ( 2R = 1,2 ( R = 0,6

A diferença entre um copo de refrigerante e uma coxinha é 1,5 - 0,6 = 0,9. Então cada coxinha custa R$0,90 centavos a mais que um copo de refrigerante.
Opção: C

10 -
A = massa de Andréia
B = massa de Bidu
C = massa de Carlos
C + B = 87 ( B = 87 - C
C + A = 123 ( A = 123 - C
A + B = 66
Substituindo a primeira e a segunda na terceira,
A + B = 66 ( ( 87 - C ) + ( 123 - C ) = 66 ( 87 - C + 123 - C = 66
210 - 2C = 66
-2C = 66 - 210
-2C = -144 .(-1)
2C = 144
C = 72 kg
Substituindo temos B = 87 - 72 = 15 kg e A = 123 - 72 = 51kg
Então Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Opção: D





O texto acima pertence ao autor: Prof. LEONARDO CURTINHA do Vestibular1 - www.vestibular1.com.br

MATEMÁTICA PARA CONCURSO

Abaixo segue a programação da matéria de matemática que constará no concurso de Oficial de Justiça para o Estado de São Paulo para 11/10/09:

- MATEMÁTICA – com 08 (oito) questões sobre operações com números inteiros, fracionários e decimais; sistema métrico (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo); divisibilidade; juros e percentagem; razões e proporções, regras de três simples e composta; divisões proporcionais; sistema do 1º grau; potenciação; radiciação; equação do 2º grau.

NÚMERO IMAGINÁRIO

NÚMERO IMAGINÁRIO

O Símbolo do número imaginário é o “i” e representa a raiz quadrada de menos 1. Este símbolo é usado nos circuitos elétricos dos rádios. ‘i’ é a representação dos números imaginários ou complexos

VAZIO

VAZIO

Uma manada de elefantes sem elefantes é uma equação matemática e significa que é sem solução, é um conjunto vazio. O seu símbolo é um circulo com um traço na diagonal.

E

E

Considerado um dos números mais importante e o seu valor é: 2,71828, surgindo com freqüência na Matemática.

FATORIAL

Indica que um determinado número deve ser multiplicado por todos os outros que o antecedem até o número um. Exemplo ‘n’ vale 3 então n! deve ser interpretado como 3X2X1 cujo valor total é 6.

O símbolo n! deve ser lido como “n fatorial”. Sua fórmula é muito usada em estatística.

PI

PI

O Comprimento de uma circunferência quando dividida pelo seu raio dá sempre como resultado o valor: 3,14159.... O “ pi” já era conhecido a mais de quatro mil anos.

GRÁFICOS

No mundo moderno o uso de gráficos é cada vez mais usual na linguagem de transmissão de dados, sendo necessário, ler, interpretar e construir gráficos para viver nesta nova civilização.

A comunicação por meio de gráfico é usada por cientistas, políticos e no meio empresarial. Os gráficos fazem parte do cotidiano dos meios de comunicações, é difícil pegar um jornal, revista ou página da internet que não contenha um gráfico.

O homem moderno deve ter o conhecimento mínimo para operar um programa de tabelas gráficas como as planilhas eletrônicas ( softwares)

LEI DISTRIBUITIVA DE ADIÇÃO

O terceiro e mais complicado axioma é o seguinte: a(b + c) = ab + ac (lei
distributiva de adição),
E trouxeram a sua oferta perante o SENHOR: seis carros cobertos e doze
bois; cada dois príncipes ofereceram um carro, e cada um deles, um boi; e
os apresentaram diante do tabernáculo. Disse o SENHOR a Moisés:
Recebe-os deles, e serão destinados ao serviço da tenda da congregação; e
os darás aos levitas, a cada um segundo o seu serviço.
Moisés recebeu os carros e os bois e os deu aos levitas. Dois carros e quatro
bois deu aos filhos de Gérson, segundo o seu serviço; quatro carros e oito
bois deu aos filhos de Merari, segundo o seu serviço, sob a direção de
Itamar, filho de Arão, o sacerdote. (Números 7:3-8).
Essas passagens (em efeito) declaram o seguinte:
(1) 2 (carros) + 4 (carros) = 6 (carros)
e
(2) 4 (bois) + 8 (bois) = 12 (bois)
Em Mateus 17:24-27, descobrimos que 2 x 2 = 4. Usando isto no (2) acima,
conseguimos:
(3) (2 x 2) + 8 = 12
Do Antigo Testamento:
Também doze leões estavam ali sobre os seis degraus, um em cada extremo
destes. Nunca se fizera obra semelhante em nenhum dos reinos (1 Reis
10:20).
Ou, 12 = 2 x 6. Assim, (3) se torna:
(4) (2 x 2) + 8 = 2 x 6.
Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

LEI COMUTATIVA DE ADIÇÃO

Ilustremos este conceito
comutativo com a lei da adição:
Porque, daqui em diante, estarão cinco divididos numa casa: três contra
dois, e dois contra três. (Lucas 12:52 RA).
Essa passagem é uma clara ilustração do axioma que:
a + b = b + a; especificamente, ele declara que 3 + 2 = 2 + 3.

Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

LEI ASSOCIATIVA DE ADIÇÃO

Regra 3: Lei Associativa de Adição: (a + b) + c = a + (b+ c)
(i.e., não importa que haja parentêses no processo de adição):
Os filhos de Elioenai: Hodavias, Eliasibe, Pelaías, Acube, Joanã, Delaías e
Anani; sete ao todo (1 Crônicas 3:24).
Ou, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.
O filho de Dã:
Husim.
Os filhos de Naftali:
Jazeel, Guni, Jezer e Silém.
São estes os filhos de Bila, a qual Labão deu a sua filha Raquel; e estes deu
ela à luz a Jacó, ao todo sete pessoas. (Gênesis 46:23-25).
Ou, (1 + 1) + [1 + (1 + 1 + 1 + 1)] = 7
Assim, temos dois agrupamentos aditivos parentéticos produzindo 7 – um exemplo
mostrando que os parênteses não importam na adição (isto é, a lei associativa de adição é
verdadeira).
Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

FRAÇÕES

Frações são mencionadas em Levítico 27:27 e 32, e diferenças são mencionadas ou
implicadas em Mateus 12:41-47 e Gênesis 18:24-32. Assim, parece que as operações básicas
da aritmética são presumidas em várias passagens bíblicas.

Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

Os Axiomas da Aritmética

Temos visto evidência do uso da matemática na Escritura. Em adição, as regras da
aritmética são presumidas. Para ver isso como é isso, examinemos os axiomas básicos da
aritmética:
1. a + 0 = a (identidade aditiva)
2. a + b = b + a (lei comutativa de adição)
3. (a + b) + c = a + (b + c) (lei associativa de adição)
4. a x 1 = a (identidade multiplicativa)
5. ab = ba (lei comutativa da multiplicação)
6. (ab)c = a(bc) (lei associativa da multiplicação)
7. a(b + c) = ab + ac (lei distributiva da adição)
8. Se a = b, então b = a (lei reflexiva)
9. Se b = c, então b + a = c + a (operação de adição idêntica)
10. Se b = c, então ab = ac (operação de multiplicação idêntica)
11. a + (-a) = a - a = 0 (definição de -a)
12. a x 1/a = 1(a pi) (definição de 1/a)


Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

MUTIPLICAÇÃO

Um exemplo de multiplicação está contida no Novo Testamento, onde é dito:
Tendo eles chegado a Cafarnaum, dirigiram-se a Pedro os que cobravam o
imposto das duas dracmas e perguntaram: Não paga o vosso Mestre as duas
dracmas? Sim, respondeu ele. Ao entrar Pedro em casa, Jesus se lhe
antecipou, dizendo: Simão, que te parece? De quem cobram os reis da terra
impostos ou tributo: dos seus filhos ou dos estranhos? Respondendo Pedro:
Dos estranhos, Jesus lhe disse: Logo, estão isentos os filhos. Mas, para que
não os escandalizemos, vai ao mar, lança o anzol, e o primeiro peixe que
fisgar, tira-o; e, abrindo-lhe a boca, acharás um estáter. Toma-o e entregalhes
por mim e por ti. Mateus 17:24-27 RA).
Ora, um estáter era equivalente a quatro dracmas. Portanto, a passagem está
dizendo (entre outras coisas), que:
(2 dracmas/pessoas) x (2 pessoas) = 4 dracmas, ou de uma forma mais
simples,
2 x 2 = 4.

Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

PI

Existe uma referência à magnitude do pi (veja 1Reis 7:23-26), em que o diâmetro e a
circunferência de um tanque redondo são especificados. Deveria ser notado que a largura
da borda do recipiente precisa ser levada em conta,13 em cujo ponto fica claro que o valor
de pi obtido dividindo-se a circunferência pelo diâmetro correto está dentro de 1 por cento
do valor real de pi. Visto que as próprias medidas não são absolutamente precisas (um erro
de 1/8 por cento na medida do diâmetro não faria diferença no valor calculado e no valor
real de pi), a correspondência é de fato considerável.
Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

SUBTRAÇÃO

Um problema de subtração está contido em:
No ano quarto, se pôs o fundamento da Casa do SENHOR, no mês de
zive. E, no ano undécimo, no mês de bul, que é o oitavo, se acabou esta
casa com todas as suas dependências, tal como devia ser. Levou Salomão
sete anos para edificá-la (1Reis 6:37-38 RA).
Ou, 11 – 4 = 7.
Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

ADIÇÃO

ADIÇÃO

Viveu Adão cento e trinta anos, e gerou um filho à sua semelhança,
conforme a sua imagem, e lhe chamou Sete. Depois que gerou a Sete, viveu
Adão oitocentos anos; e teve filhos e filhas. Os dias todos da vida de Adão
foram novecentos e trinta anos; e morreu (Gênesis 5:3-5 RA).
Entre outras coisas, essa passagem particular declara que:
130 + 800 = 930.

Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

AS TRÊS VISÕES FILOSÓFICAS DA MATEMÁTICA

Atualmente, existem três diferentes visões filosóficas [principais] acerca da
matemática: logicista, formalista e intuicionista.3

Fonte: The Trinity Review, Setembro/Outubro 1982.

JUROS

JUROS
Que capital aplicado à taxa de 8% ao ano no período de 3 anos e 4 meses , produz R$ 7.200,00 de juros ?

R. R$ 27.000,00

PROVA DO CONCURSO PARA OFICIAL DE JUSTIÇA SP/1999

51. Numa sacola estão bolas numeradas de 1 a 20 . Qual a chance em percentagem de uma pessoa tirar uma bola numerada com um número primo ?
a ( ) 15% d ( ) 55%
b ( ) 30% e ( ) 65%
c ( ) 40%
52. Sabendo-se que x , y e z são diretamente proporcionais a 10 , 15 e 30 e que x + y = 180 , qual o valor de z ?
a ( ) 432 d ( ) 72
b ( ) 108 e ( ) 138
c ( ) 216

54. Qual o menor número que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13 , para que este produto , aumente de 175 unidades ?
a ( ) + 7 d ( ) _ 25
b ( ) +25 e ( ) + 13
c ( ) _ 7
55. Que capital aplicado à taxa de 8% ao ano no período de 3 anos e 4 meses , produz R$ 7.200,00 de juros ?
a ( ) R$ 35.000,00 d ( ) R$270.000,00
b ( ) R$ 27.000,00 e ( ) R$ 18.550,00
c ( ) R$ 3.500,00




Gabarito

01 D 21 C 41 C 61 E
02 A 22 E 42 C 62 E
03 B 23 C 43 B 63 C
04 E 24 E 44 C 64 C
05 C 25 A 45 A 65 A
06 B 26 D 46 B 66 B
07 * 27 C 47 C 67 C
08 C 28 A 48 D 68 E
09 E 29 B 49 B 69 A
10 B 30 A 50 B 70 B
11 B 31 C 51 C 71 D
12 C 32 D 52 C 72 E
13 D 33 D 53 E 73 B
14 C 34 E 54 D 74 A
15 B 35 A 55 B 75 D
16 A 36 D 56 C 76 C
17 D 37 C 57 B 77 A
18 C 38 D 58 B 78 B
19 * 39 D 59 * 79 E
20 A 40 E 60 D 80 C

CONCURSO PARA OFICIAL DE JUSTIÇA - SÃO PAULO

NO ANO DE 2009, O ESTADO DE SÃO PAULO VAI ABRIR 500 VAGAS PARA OFICIAL DE JUSTIÇA, DEPOIS DE CERCA DE 10 ANOS SEM CONCURSO PARA ESTE CARGO DO JUDICIÁRIO, A ESPECTATIVA É QUE HAVERÁ UMA AVALANCHE DE CANDIDATOS PARA PREENCHIMENTO DESTAS VAGAS, COM É DE SE ESPERAR MATEMÁTICA TERÁ DESTAQUE ENTRE AS DISCIPLINAS QUE SERÃO EXIGIDAS DOS CANDIDATOS PARA PREENCHER UMA DAS VAGAS.

QUEM COBIÇA O SALARIO MENSAL QUE GIRA EM TORNO DE QUATRO MIL REAIS COM AS VANTAGENS ORIUNDAS DO CARGO, DEVERÁ SE PREPARAR ESTUDANDO OS TÓPICOS ABAIXO DA MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

1 - As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais

2 - Sistema métrico (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo)

3 - Números pares e ímpares, primos e compostos

4 - MMC e MDC

5 - Divisibilidade

6 - Juros e percentagens

7 - Razões e proporções

8 - Regras de tres , simples e composta

9 - Divisões proporcionais

10 - Sistema do primeiro grau

11 - Potenciação

12- Radiciação

13 - Equação do segundo grau