MATEMÁTICA APONTA QUE DEUS EXISTE

MATEMÁTICA APONTA QUE DEUS EXISTE

Durante muitos séculos filósofos, cientistas, teólogos e mesmo matemáticos procuram evidências que confirmem que Deus existe. Muitos matemáticos gastaram suas vidas inteiras com cálculos e formulas que pudessem explicar Deus, a eternidade e o infinito. Muitos destes ficaram loucos e terminaram seus dias em manicômio. Aprecio todas as ciências, pois todas elas me apontam que Deus existe, Todo homem possui um espírito que possui conhecimentos inexplicáveis, que testificam no íntimo dos homens, em todos os tempos e em todos os lugares que Deus existe. O número zero ajudou-se a compreender a eternidade de Deus. Os números negativos contam os dias passados de Deus e os números positivos contam os dias futuros de Deus. Assim como os números são infinitos, da mesma forma os dias de Deus não tem começo nem fim. (Comentário do teólogo Valdemir Mota de Menezes, o Escriba)

ENSINANDO DESPERTANDO COMPETIÇÃO

Uma forma bem pedagógica de ensinar é através da competição ou emulação, provocando nos alunos uma disputa saudável. Você inventa um jogo de certo e errado, cria equipes em que os alunos formarão "times" e após explicar as regras passa a lição que será tema das perguntas e respostas.

A mesma pergunta poderá ser feita várias vezes porque o aluno que não aprendeu na primeira vez, na segunda ou terceira vez, ele saberá a resposta certa. Pequenos prêmios podem ser oferecidos como uma maneira de criar o espírito de competição. Ademais os alunos aprenderão que vivemos em uma sociedade competitiva capitalista, quem não tiver espŕito de competir respeitando as regras, serão reprovados, se não pela escola, será pela vida.

MATEMÁTICA PARA CRIANÇAS

Estes dias recebi um DVC com centenas de arquivos de uma Curso preparatório para concursos Públicos e entre estes estudos estava um de Pedagogia, ensinando matemática para criancinhas. Achei bastante criativo e prático. Vejam:

4 fundamentos para introdução a matemática.
Além de boas intenções será preciso algo mais...
Para tornar a matemática uma matéria mais agradável às crianças ao invés de um martírio, os pais precisam entender os princípios da matemática fundamental e conseguir o software adequado ou criar jogos que reforçem estes princípios.
A matemática vista na escola, normalmente dá as crianças a idéia de que a matéria é dirigida apenas para a solução de problemas difíceis (e soluções mais complexas ainda).
Entretanto, o melhor software voltado à matemática fundamental, assim como os jogos matemáticos que podem ser criados com o auxílio do seu computador e um programa simples de desenho e pintura, dão ênfase a aplicações da matéria em problemas comuns do dia a dia, e encorajam as crianças a associarem desde cedo a matéria com situações e objetos da vida real.




1 - Senso Numérico
Os pais precisam encorajar as crianças a juntar, separar, e comparar objetos em conjuntos, muito antes deles terem contato com os conceitos abstratos de como fazer isto numericamente. Contagem não é a mesma coisa que senso numérico - muitas crianças são capazes de contar corretamente antes mesmo de terem noções do significado dos números de 1 a 10.
Você pode criar um divertido jogo de "senso numérico" usando desenhos feitos em um programa simples de desenho, o Paintbrush que vem com o Windows por exemplo.
As figuras dever ser classificadas em grupos de objetos - tais como, veículos de vários tipos, ou zoológico, animais selvagens e domésticos. Faça as ilustrações do maior tamanho que puder e imprima-os se possível em papel cartonado - se não tiver o papel, pode colar o papel comum sobre papelão. Se não tiver impressora colorida, pode-se colorir com qualquer outro meio, e então corte as figuras em quadrados.
Usando recipientes diversos, tais como caixas de sapato, embalagens de ovos, casinha da boneca, elabore histórias onde a criança tenha de classificar e combinar os objetos.
Proponha que ela coloque na casinha de boneca, por exemplo, todos os animais que vivem com as pessoas, e coloque os outros na caixa de sapato (o zoológico). Ou deixe que ela faça sugestões para novos conjuntos - todos que tenham a cor verde, aqueles que andam mais rápido, ou aqueles que ele mais gosta.
Após classificar os objetos por grupos, faça-lhe perguntas sobre a quantidade em cada conjunto e use isso como base para comparação (qual deles tem mais animais quando nós arranjamos desse modo, a casa ou o zoológico?), etc.



2 - Padrões e Relacionamentos
A matemática é o estudo dos padrões e das regras que explicam tudo que é regular no mundo físico.
Padrões podem ser simples (como dia e noite) ou mais complexos (como os componentes do DNA animal).
Ao ajudar a criança no reconhecimento de padrões e relacionamentos, você estará dando a ela a base inicial para desenvolver sua capacidade de solucionar problemas, entender seqüências lógicas, e entendimento dos padrões numéricos, tais como da base decimal.
Organize um padrão alternativo simples - como, um carro, caminhão, carro, caminhão; ou animais de casa, animais do zoológico, animais de casa, animais do zoológico - e deixe a criança completar escolhendo o que virá em seguida.
Ou escolha associar um som ou movimento para cada tipo de item no padrão (carro = estalo de dedos; caminhão = batida com o pé). Espalhe as figuras no chão ou outra superfície e, a medida que seus dedos caminham sobre as figuras, encoraje-o a produzir o som ou ação associada.
3 - Geometria e Raciocínio Espacial
Geometria é tudo sobre as propriedades e relacionamentos de formas planas e tridimensionais. Ela ensina a criança como fazer a marcação de um campo de futebol no quintal, construir uma ponte de blocos de madeira, ou pintar uma paisagem com as proporções do aspecto natural.
Com um programa de desenho, crie um triângulo eqüilátero (todos os lados iguais) e faça várias cópias do mesmo. Crie também outras formas, tais como, hexágonos, rombóides (quadrilátero em forma de diamante), e trapezóides. Faça o mesmo com quadrados de lados iguais e retângulos.
Imprima tudo em papel cartonado, - pode-se cobrir as figuras com papel colorido ou pintar com lápis de cera, etc - e corte as formas para criar (literalmente) os blocos de construir para este jogo.
Agora use estes blocos para construir formas simétricas, combine as pequenas peças para construir objetos maiores, ou preencha um grande quadrado ou retângulo com a maior quantidade de pequenas peças que conseguir.
Discuta com a criança o que está acontecendo quando as formas são combinadas, (mostre a ela como um quadrado ou um retângulo são formados por dois triângulos) e compare os componentes de cada forma (altura, largura, ângulos) e como eles fazem aquela forma geométrica ser única.
4 - Resolução de Problemas
O Pensamento lógico é essencial para a resolução de problemas. Isto envolve pensamento seqüencial, criação de soluções alternativas, e previsão de resultados.
Os Quebra-cabeças "Tangram" exigem paciência e planejamento e são mais adequados para as crianças maiores de três anos.
Eles são diferentes dos jogos de geometria simples e raciocínio espacial, porque eles convidam a criança a colocar formas diferentes juntas do modo que ela imaginar, todos dos quais estarão corretos.
Use seu programa de desenho e pintura para dividir um grande quadrado em várias partes, e fazer seu próprio Quebra-cabeças Tangram.
Jogo de Tangram.

Este antigo Quebra-cabeças chinês pode ser a solução para os problemas matemáticos da criança.A criação das peças para jogar Tangram é em si um exercício de resolução de problemas, geometria e formas.A figura deve Ter no final um aspecto semelhante a esta aqui apresentada.
Você pode colorir as peças com a aplicação de papel colorido, lápis de cera, ou na própria impressora se for colorida. Corte em seguida todos os pedaços conforme indicado na figura.
As regras do jogo Tangram são simples: Use todas as peças para formar figuras, e todas as peças devem ser planas e com encaixe, uma nas outras, perfeito.
Agora determine os objetivos do jogo. Faça um padrão que a criança deve copiar, ou dê nomes a figura, tais como, casa, pessoa, carro, ou pássaro, e mande-a então usar as peças para construí-las. Melhor ainda, desafie a criança (e você também) a reconstruir o quadrado original.
Referências adicionais: Family PC Magazine

NÚMEROS PRIMOS

Números Primos


Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
· Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
· por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
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As informações abaixo foram extraídas do site:
http://www.mundovestibular.com.br/articles/465/1/NUMEROS-PRIMOS/Paacutegina1.html
NÚMEROS PRIMOS
Os livrões nos dizem que um NÚMERO PRIMO é um número natural maior do que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Todos os outros são chamados de números compostos. É preciso destacar que o número zero não é primo e nem composto.
Neste caso, um número inteiro maior do que 1 é chamado de primo se seus únicos divisores (fatores) positivos forem 1 e ele próprio. Os primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13. O único número primo par é o 2, todos os outros são ímpares.
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todos os números inteiros positivos podem ser fatorados (divididos) em um produto único de números primos. Por exemplo, os divisores primos de 10 são 2 e 5. Isto é o mesmo que dizer que todos os números compostos são compostos por uma múltiplicação única de números primários, os números primos.
· Um número inteiro positivo p, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores p=ab, nenhum dos quais sendo 1 ou -1.
· Se p é um número primo e p dividir o produto dos inteiros ab, então p divide a ou p divide b. Esta proposição é conhecida como lemma de Euclides.
· Se p é primo e a um número inteiro qualquer, então ap - a é divisível por p. Este é o Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 63 - 6 = 210 e 210 é divisível por 3. O interessante é que, se a potência não for um número primo, esta afirmação não necessariamente se confirma.
· Se p é um número primo diferente de 2 e 5, 1/p é sempre uma dízima periódica com um período p-1 ou um divisor de p-1. Neste caso, também entra o Pequeno Teorema de Fermat. Por exemplo, 1/7 = 0.142857 142857..., uma dízima periódica com um período de seis algarismos (142857).
· No caso da propriedade anterior, se trocarmos a base numérica decimal para outra qualquer q, se p não for um fator primo de q, a propriedade se mantém.
· Um número inteiro p > 1 é primo se, e somente se o fatorial (p - 1)! + 1 for divisível por p. Este é o Teorema de Wilson, e o inverso também é verdadeiro. Por exemplo, (5 - 1)! + 1 = (4x3x2x1) + 1 = 24 + 1 = 25. Como 25/5 = 0, então 5 é um número primo. Por outro lado, (4 - 1)! + 1 = (3x2x1) + 1 = 6 + 1 = 7. Como 7/4 = 1.75 (não é uma divisão exata), então 4 não é um número primo.
· O Postulado de Bertrand diz que, se n é um número inteiro positivo, então sempre existe um número primo p com n < p <= 2n. Por exemplo, se n = 4, então 2n = 8. No intervalo entre 4 e 8 sempre existe um número primo que, no caso, é 5.
· Para cada um dos números primos p > 2 existe sempre um número natural n de modo que p = 4n ± 1. Por exemplo, se p = 13, então existe um número n de modo que p = 4n + 1 ou que p = 4n - 1. Neste caso, n = 3 pois 13 = 4 x 3 + 1 = 12 + 1 = 13.
· Da mesma forma, para cada número primo p > 3 existe sempre um número natural n de modo que p = 6n ± 1.

TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS
Existem alguns tipos especiais de números primos, dos quais os mais conhecidos são:
· Primos de Mersenne: têm a forma 2n - 1. Observe que os últimos maiores primos encontrados são deste tipo. Isto se deve ao fato de que existe um teste de primalidade muito eficiente para este tipo de primo, o teste de Lucas-Lehmer para Primos Mersenne.
· Primos de Fermat: têm a forma 22n + 1.
· Primos Sophie Germain: são os números primos p onde 2p + 1 também é um número primo.
· Primos de Wieferich: são números primos p onde p2 divide 2p - 1 - 1. Foram descritos por Wieferich em 1909 e existem apenas dois conhecidos: 1093 e 3511.
· Primos de Wilson: são os primos p onde p2 divide (p - 1)! + 1. Os únicos conhecidos são 5, 13 e 563.
· Primos Fatoriais: têm a forma n! ± 1. n! - 1 é primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, ... e n! + 1 é primo para n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, ...
OS MAIORES NÚMEROS PRIMOS CONHECIDOS
Primo Nro. de Dígitos Tipo Data Descobridor
225964951 - 1 7.816.230 Mersenne 18.02.2005 Martin Nowak
224036583 - 1 7.235.733 Mersenne 15.05.2004 Josh Findley
220996011 - 1 6.320.430 Mersenne 17.11.2003 Michael Schafer

Primo Dígitos Ano
1 361 84665536+1 402 007 2002
1 266 06265536+1 399 931 2002
5 x 21320487+1 397 507 2002
1 057 47665536+1 394 807 2002
857 67865536+1 388 847 2002
ONDE ENCONTRAR NÚMEROS PRIMOS ENORMES
Para encontrar listas sempre atualizadas com os maiores números primos, visite o site da GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search, iniciado por Woltman no início de 1996.
Os números estão classificados por tipo de primo, o site está sempre atualizado e oferece um mundo de informações a respeito de números primos.
De acordo com o número de dígitos, os primos receberam nomes especiais:
Primos titânicos
Nos anos 80, Samuel Yates iniciou uma lista dos "Maiores Primos Conhecidos" e criou o nome primo titânico para designar qualquer número primo com 1.000 ou mais dígitos. Denominou também de titãs aqueles que provaram a primalidade destes números.
Hoje em dia, uma infinidade de primos titânicos são conhecidos. Entretanto, na época em que Yates definiu os primos titânicos, tinha-se conhecimento de apenas alguns poucos.
Primos gigantes
Cerca de dez anos mais tarde, Yates designou como primo gigante todo número primo que possuísse 10.000 ou mais dígitos. Nos anos 90 estes primos eram bastante raros. Atualmente, vários deles são conhecidos.
Megaprimos
Megaprimos são números primos que possuem no mínimo um milhão de dígitos. Vários são conhecidos (quando pesquisei pela primeira vez em 2002, existiam apenas dois).


As informações abaixo foram extraídas do site:
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1692u20.jhtm

Números primos
VEJA ALGORITMO PARA ENCONTRÁ-LOS
Maria Ângela de Camargo
*Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
Um número natural é primo se ele possui apenas dois divisores positivos e distintos. Ou seja, um número natural é primo se ele é maior que 1 e é divisível apenas por si próprio e por 1.

Um exemplo: o número 2. Ele só é divisível por ele mesmo, e por 1. O mesmo vale para 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... Como se pôde observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares. Observe também que essa definição exclui o 1 como primo.

O matemático grego Euclides provou que os números primos eram infinitos. Problemas envolvendo números primos mantiveram ocupados quase todos os matemáticos desde a antigüidade: como saber se um número é primo ou não, ou prever a sua existência em um conjunto de números, ou ainda encontrar uma fórmula para defini-los?

Muitas dessas questões continuam sem resposta, mas Eratóstenes criou um método para descobrir os primos em uma seqüência de números naturais de 1 até n. Eratóstenes viveu em Alexandria algumas décadas depois de Euclides. Foi diretor da famosa Biblioteca de Alexandria e do Museu, enquanto acumulava uma série de outras atividades.
Algoritmo para definir números primos
O algoritmo se baseia numa "peneira": ele vai testando se um número é primo e, se for, elimina todos os seus múltiplos. Pode-se começar com um conjunto de números naturais não-nulos. Observe uma lista com os 50 primeiros:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

O menor número primo é o 2, mas qualquer outro que seja divisível por 2 não é primo, certo? Então, mantém-se o 2 e excluem-se todos os seus múltiplos,
2 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49

o que elimina metade da lista!
O próximo número primo é 3. Deve-se mantê-lo e excluir os múltiplos de 3, uma vez que um número múltiplo de 3 não pode ser primo:
2 3 5 7
11 13 17 19
23 25 29
31 35 37
41 43 47 49

E o 4? Quando se eliminam os múltiplos de 2, também se eliminaram os múltiplos de 4, 6, 8, e todos os números pares! É por esse motivo que o crivo é tão eficiente: ao excluir os múltiplos de um número primo, não há necessidade de verificar aqueles múltiplos.
Daí, pode-se passar ao próximo número da seqüência, que é exatamente o próximo primo, o 5. Removendo os múltiplos de 5 (a essa altura, só restam o 25 e o 35) e fazendo o mesmo com o próximo da seqüência que é o 7 (removendo apenas o 49), fica-se assim:
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47

Todos os números que sobraram na lista são primos!
Múltiplos de 11
Você poderia se perguntar se o correto não seria continuar com a checagem até chegar ao fim da lista. Uma análise mostra que esse trabalho não é necessário. Veja que os próximos na verificação e exclusão da seqüência seriam os múltiplos de 11, mas todos já foram excluídos previamente porque eram múltiplos de outro primo menor!
Observe o aspecto das últimas exclusões:
21 = 7x3 - 27 = 32x3 - 25 = 5x5 - 35 = 7x5 - 49 = 7x7
Qualquer outro número não-primo nessa seqüência deve ser da forma 11k, em que k é primo menor que 11, mas esses já foram excluídos! Então, os que sobraram são mesmo primos. Na verdade, basta calcular os números primos anteriores à raiz quadrada de n (você sabe dizer por quê?).
Divisão por tentativa
Para determinar se um certo número inteiro pequeno é primo, a divisão por tentativa funciona bem. Basta dividi-lo por todos os primos menores ou iguais à sua raiz quadrada. Se você estiver procurando por um primo gigantesco, com mais de 10.000 dígitos decimais, nunca poderia dividi-lo por todos os primos menores que a sua raiz quadrada.
Ainda assim, mesmo nesses casos a divisão por tentativa é utilizada, somente para fazer um rastreamento inicial. Fazem-se divisões por alguns milhões de primos pequenos e depois aplica-se um teste de primalidade. No caso de n ter 25 dígitos ou mais, a divisão por tentativa usando primos menores que sua raiz quadrada é impraticável. Se n tiver 200 dígitos, então a divisão por tentativa é impossível.
A mais importante utilização atual dos números primos é o reforço nos sistemas de segurança em criptografia, entre outras aplicações. Pode-se dizer que um sistema criptografado é tão mais seguro quanto maiores forem os primos utilizados na sua estrutura. A questão então passa por determinar se um número é primo ou não.
Mas por que o nome "primo"?
A palavra primo refere-se a idéia de primeiro, e sua origem está na concepção numérica da escola pitagórica, no século 5 a.C. Nessa época, os matemáticos gregos dividiam os números inteiros naturais em três classes:
· a monad (unidade, 1);
· os protói arithmói (números primos) ou asynthetói aritmói (números não compostos): aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros números além da unidade. 2, 3, 5, 7, 11, etc.;
· os deuterói arithmói (números compostos): aqueles que podem ser gerados pelo produto de outros números. 4 (=2x2), 6 (=2x3), 8, 10, 12, 14, etc.
A definição de Euclides para esses números reflete essa classificação:
"Número primo é aquele que só pode ser medido através da unidade."

PORCENTAGEM

Porcentagem

As informações abaixo foram extraídas do site: http://www.exatas.mat.br/porcentagem.htm

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:








Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.


Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:






E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:






(lê-se 10 por cento)






(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:


Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?


5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?


20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora?

Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?

Digitem: 500
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 20
Aperte a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.



Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será:



Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)
Logo,







2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de:


Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:




3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?



2000x = 10000
x = 5

Portanto, 5%.

4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.




Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:




Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.

JUROS SIMPLES

Juros simples e porcentagem

ESTUDO ELABORADO POR Carlos Alberto Campagner que é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.


Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc.

A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples.




Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 3.500,00 qual será sua comissão?

Equacionando e montando a regra de 3 temos:

3500 – 100%
x - 3%





Na regra de 3, quando as grandezas são diretamente proporcionais (no caso, quanto maior a venda, maior a comissão) usamos setas paralelas e multiplicamos os termos em cruz, como se vê abaixo:



Ora, se 100 x = 3500 3, então


X= 3X3.500/100= 105

Logo, a comissão será de R$ 105,00.

Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição:

3% = logo 3% de R$ 3.500,00 seriam x R$ 3.500,00 = R$ 105,00.
Alguns termos de matemática financeira
Como estamos falando de finanças, os termos mais usados, de acordo definições reduzidas, serão:
· Capital = o dinheiro em questão;
· Capital inicial = o capital antes de decorrido um tempo determinado;
· Capital final = o capital depois de decorrido o tempo determinado;
· Tempo = determinado período em que se modifica o valor do capital;
· Lucro = Ganho obtido com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;
· Prejuízo = Perda obtida com algum produto ou atividade em relação ao capital inicial;
· Juros = Importância cobrada, por unidade de tempo, pelo empréstimo de um capital;
· Taxa de juros = Taxa de juro percentual cobrada por intervalo de tempo.
Juros simples
Pode parecer óbvio, mas o produto de uma sapataria é o sapato, da papelaria é o papel e similares. No caso de bancos e financeiras, o produto é o dinheiro, ou os lucros e taxas que possam advir do mesmo.

Se você utiliza o dinheiro do banco (cheque especial, empréstimos, carteira hipotecária, etc), serão cobrados juros sobre esse dinheiro. Se, ao contrário, o banco é que utiliza o seu dinheiro (caderneta de poupança, investimentos, etc.) você é que receberá os tais juros.

De uma maneira geral o juro simples (J) produzido por um capital (C) a uma taxa de juro (i) por um prazo (t) é calculada assim:

J=C x i x t
· Exemplo: Você coloca seu suado dinheiro na poupança, digamos R$ 1.000,00. Após um mês qual será o juro a receber se a taxa é de 0,5% ao mês?



Logo, o banco lhe pagará R$ 5,00 para utilizar os seus R$ 1000,00 por 1 mês.

Veja que a taxa de juros 0,5% foi colocada em sua forma fracionária.
· Exemplo: Você vai utilizar o seu cheque especial de R$ 1000,00 por um mês, sendo que a taxa é de 15% ao mês. Quanto pagará de juros?



Logo, você pagará R$ 150,00 ao banco.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
· Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
· Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
· Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.





· Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
· Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
· Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
· Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
· Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
· Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.





· Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
· Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.